Формулы сокращённого умножения

Что такое формулы сокращённого умножения

Формулы сокращённого умножения (ФСУ) — это тождества, которые позволяют быстро раскрывать скобки или, наоборот, сворачивать выражение в произведение, не выполняя раскрытие «в лоб» через распределительный закон. Они настолько часто встречаются в алгебре, что их нужно знать наизусть — как таблицу умножения.

На ОРТ ФСУ проверяются в трёх формах: раскрыть выражение вида $(a\pm b)^2$ или $(a\pm b)^3$, разложить многочлен на множители, используя одну из формул «в обратную сторону», и быстро посчитать числовое выражение вроде $101^2$ или $49\cdot51$ без калькулятора.

Квадрат суммы и квадрат разности

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Частая ошибка. Многие считают, что $(a+b)^2 = a^2+b^2$. Это неверно — пропущено слагаемое $2ab$. Проверим на числах: $(2+3)^2 = 5^2 = 25$, а $2^2+3^2 = 4+9=13$. Числа $25$ и $13$ не равны, значит формула $(a+b)^2=a^2+b^2$ — ловушка, а не тождество.

Разность квадратов

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

Это единственная из формул, где в правой части нет «среднего» слагаемого: при раскрытии $(a-b)(a+b) = a^2+ab-ab-b^2$ слагаемые $ab$ и $-ab$ взаимно уничтожаются.

Куб суммы и куб разности (кратко)

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Знаки в формуле куба разности чередуются: $+,\,-,\,+,\,-$.

Пример. Вычислим $11^3$, представив как $(10+1)^3$:

$11^3 = 10^3+3\cdot10^2\cdot1+3\cdot10\cdot1^2+1^3 = 1000+300+30+1=1331$

Сумма и разность кубов (кратко)

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

Удобный ориентир: знак перед $ab$ во второй скобке всегда противоположен знаку в первой скобке. Эти формулы реже нужны на ОРТ, чем квадраты, но встречаются в заданиях на разложение на множители.

Пример. Разложим $x^3+8$. Заметим, что $8=2^3$, значит это сумма кубов при $a=x$, $b=2$:

$x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$

Применение для быстрого счёта

На ОРТ калькулятор запрещён, поэтому ФСУ — надёжный способ считать в уме.

Пример 1. Вычислим $101^2$, представив число как $(100+1)^2$:

$101^2 = 100^2 + 2\cdot100\cdot1+1^2 = 10000+200+1=10201$

Пример 2. Вычислим $49\cdot51$, представив как $(50-1)(50+1)$:

$49\cdot51 = 50^2-1^2=2500-1=2499$

Заметьте: $49\cdot51 = 2499$, а не $2500$, хотя интуитивно кажется, что раз оба множителя «рядом» с $50$, ответ должен совпасть с $50^2$. Произведение двух чисел, равноудалённых от общего среднего значения, всегда чуть меньше квадрата этого среднего — на величину квадрата отклонения ($1^2=1$ в нашем случае).

Упрощение выражений

ФСУ помогают упрощать выражения без полного раскрытия скобок.

Пример. Упростим $(x+5)^2-(x-5)^2$. Вместо раскрытия обоих квадратов применим разность квадратов:

$(x+5)^2-(x-5)^2 = \big((x+5)-(x-5)\big)\big((x+5)+(x-5)\big) = 10\cdot 2x = 20x$

Так же можно быстро раскладывать на множители: например, $9x^2-16=(3x)^2-4^2=(3x-4)(3x+4)$.

Ещё пример. Упростим $(a+3)^2+(a-3)^2$. Здесь квадраты складываются, а не вычитаются, поэтому разность квадратов не подходит — раскрываем оба квадрата напрямую:

$(a+3)^2+(a-3)^2 = (a^2+6a+9)+(a^2-6a+9) = 2a^2+18$

Слагаемые $6a$ и $-6a$ уничтожаются, а квадраты $9$ складываются — итоговое выражение уже не зависит от знака слагаемого $3$.

ОРТ-совет

Если в задаче встречается сумма или разность в квадрате (кубе) либо разность квадратов — не раскрывайте скобки вручную через умножение «столбиком» слагаемых. Сразу определите, какая формула подходит, и подставьте значения $a$ и $b$. Это экономит время и снижает риск ошибки в знаках. И главное правило, которое нужно помнить всегда: $(a+b)^2 \ne a^2+b^2$ — средний член $2ab$ никуда не исчезает.