Одночлены и многочлены

Одночлены и их степень

Одночлен — это произведение чисел, переменных и их степеней. Например: $5x^3$, $-2ab^2$, $7$.

Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных.

Пример. Степень одночлена $4x^2y^3$ равна $2 + 3 = 5$.

Число (например, $7$) считается одночленом нулевой степени (если оно не равно нулю).

Одночлены называются подобными, если у них одинаковая буквенная часть (одни и те же переменные в одинаковых степенях). Например, $3x^2y$ и $-5x^2y$ подобны, а $3x^2y$ и $3xy^2$ — нет.

Приведение подобных слагаемых

Приведение подобных слагаемых — это сложение коэффициентов подобных одночленов с сохранением буквенной части:

$3x^2y - 5x^2y + 8x^2y = (3 - 5 + 8)x^2y = 6x^2y$

Складывать можно только подобные слагаемые. Слагаемые $3x^2$ и $3x$ не объединяются — это разные одночлены.

Многочлен и его степень

Многочлен — это сумма одночленов. Каждый одночлен в составе многочлена называется членом. Степень многочлена равна наибольшей из степеней его членов.

Пример. Многочлен $5x^3 - 2x^2y^2 + 7$ имеет степень $4$ (степень члена $-2x^2y^2$ равна $2+2=4$ — это наибольшее значение).

Сложение и вычитание многочленов

Чтобы сложить многочлены, раскрывают скобки и приводят подобные слагаемые. Знаки сохраняются:

$(3x^2 - 5x + 1) + (2x^2 + 4x - 6) = 5x^2 - x - 5$

При вычитании многочлена каждый его член меняет знак на противоположный — это самое частое место ошибок на ОРТ:

$(3x^2 - 5x + 1) - (2x^2 + 4x - 6) = 3x^2 - 5x + 1 - 2x^2 - 4x + 6 = x^2 - 9x + 7$

Обратите внимание: $+4x$ стал $-4x$, а $-6$ стал $+6$ — знак меняется у каждого члена в скобке, а не только у первого.

Умножение многочленов

Одночлен умножается на многочлен по распределительному закону — каждый член многочлена умножается на одночлен:

$3x(2x^2 - 5x + 4) = 6x^3 - 15x^2 + 12x$

Два многочлена умножаются так: каждый член первого умножается на каждый член второго, затем приводятся подобные слагаемые:

$(x+3)(2x-5) = 2x^2 - 5x + 6x - 15 = 2x^2 + x - 15$

Вынесение общего множителя за скобки

Если у всех членов многочлена есть общий множитель, его можно вынести за скобки — это действие, обратное раскрытию скобок:

$8x^3 - 12x^2 + 4x = 4x(2x^2 - 3x + 1)$

Общий множитель — это наибольший общий делитель коэффициентов ($4$) и наименьшая степень общей переменной ($x$).

Проверка: раскрыв скобки обратно, должен получиться исходный многочлен.

Вычисление значения выражения при данном $x$

Чтобы найти значение многочлена при конкретном $x$, сначала упрощают выражение (раскрывают скобки, приводят подобные), а потом подставляют число — так меньше шансов ошибиться в знаках.

Пример. Найдите значение выражения $3(x-2) - (5-x)$ при $x = -1$. Сначала упростим:

$3(x-2) - (5-x) = 3x - 6 - 5 + x = 4x - 11$

Подставляем $x = -1$: $4 \cdot (-1) - 11 = -4 - 11 = -15$.

ОРТ-совет

На ОРТ чаще всего теряют баллы именно на знаках при раскрытии скобок со знаком «минус» впереди: $-(a - b) = -a + b$, а не $-a - b$. Всегда сначала полностью упростите выражение, приведите подобные слагаемые, и только потом подставляйте число — это быстрее и надёжнее, чем подставлять значение в каждую скобку по отдельности.