Разложение на множители

Зачем нужно разложение на множители

Разложить на множители — значит записать выражение в виде произведения. Это одна из самых полезных операций в алгебре: она помогает сокращать дроби, быстро считать без калькулятора и решать уравнения. Есть несколько основных приёмов.

Вынесение общего множителя

Если каждое слагаемое содержит одинаковый множитель, его можно вынести за скобку:

$ac + bc = c(a+b)$

Пример. $15x^2y - 20xy^2$. Общий множитель коэффициентов $15$ и $20$ — это $5$, общий буквенный множитель — $xy$ (берём наименьшую степень каждой буквы). Значит:

$15x^2y - 20xy^2 = 5xy(3x - 4y)$

Способ группировки

Если общего множителя для всех слагаемых нет, слагаемые можно разбить на группы, в каждой из которых есть свой общий множитель:

$ax + ay + bx + by = a(x+y) + b(x+y) = (x+y)(a+b)$

Пример. $mx - my - nx + ny = (mx - my) - (nx - ny) = m(x-y) - n(x-y) = (x-y)(m-n)$.

Важно: после первой группировки в скобках должно получиться одинаковое выражение — тогда его можно вынести как общий множитель.

Формулы сокращённого умножения "в обратную сторону"

Формулы сокращённого умножения работают и наоборот — как готовые схемы разложения:

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \quad \text{(разность квадратов)}$

$a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2 \quad \text{(квадрат суммы/разности)}$

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2), \qquad a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

Пример. $9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2 = (3x-5)(3x+5)$.

Пример. $x^2 - 10x + 25$: здесь $x^2$ и $5^2$ — квадраты, а $10x = 2 \cdot x \cdot 5$ — удвоенное произведение, значит это квадрат разности: $(x-5)^2$.

Комбинированные приёмы

Часто нужно применить несколько способов подряд. Разложение всегда доводят до конца — пока в скобках не останутся множители, которые больше не раскладываются.

Пример. $2x^3 - 8x$. Сначала выносим общий множитель: $2x(x^2 - 4)$. В скобках — разность квадратов: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$. Итог:

$2x^3 - 8x = 2x(x-2)(x+2)$

Быстрые вычисления без калькулятора

Разложение на множители — мощный приём устного счёта на ОРТ. Чтобы вычислить $37^2 - 27^2$, не нужно возводить числа в квадрат:

$37^2 - 27^2 = (37-27)(37+27) = 10 \cdot 64 = 640$

Так за несколько секунд считается то, на что "в лоб" ушла бы минута.

Сокращение алгебраических дробей

Дробь можно сократить только на общий множитель числителя и знаменателя — поэтому оба сначала раскладывают на множители.

Пример. Сократите дробь $\dfrac{x^2 - 49}{x^2 + 7x}$.

Числитель — разность квадратов: $x^2 - 49 = (x-7)(x+7)$. Знаменатель: $x^2 + 7x = x(x+7)$. Сокращаем на общий множитель $(x+7)$:

$\frac{(x-7)(x+7)}{x(x+7)} = \frac{x-7}{x}, \qquad x \neq 0, -7$

ОРТ-совет

На экзамене нельзя пользоваться калькулятором, поэтому, увидев выражение вида $a^2 - b^2$ (разность квадратов чисел, близких по значению), сразу раскладывайте его на $(a-b)(a+b)$ — это превращает сложное возведение в квадрат в лёгкое умножение. И всегда проверяйте, что разложение доведено до конца: если в скобках осталась разность или сумма квадратов вида $a^2-b^2$, её тоже нужно разложить.