Чтение графиков

Что значит «прочитать график»

Функция часто задаётся не формулой, а графиком — линией на координатной плоскости. «Прочитать график» значит уметь по рисунку находить значения функции, промежутки её поведения и другие характеристики, не имея формулы под рукой.

По горизонтальной оси ($Ox$) откладывают значения аргумента $x$, по вертикальной ($Oy$) — значения функции $y=f(x)$. Каждая точка графика — это пара $(x; f(x))$.

Значение функции по данному $x$

Чтобы найти $f(x_0)$:

1. Найти на оси $Ox$ точку $x_0$.
2. Провести от неё вертикальную линию до пересечения с графиком.
3. От точки пересечения провести горизонтальную линию до оси $Oy$ — это и есть значение $f(x_0)$.

Пример. График проходит через точки $(0; 2)$ и $(8; -6)$, между ними — отрезок прямой. Угловой коэффициент участка: $k=\dfrac{-6-2}{8-0}=-1$, то есть при увеличении $x$ на $1$ значение $y$ уменьшается на $1$. Тогда при $x=4$ (посередине пути): $y = 2 + 4\cdot(-1) = -2$.

Нахождение $x$ по значению $y$

Обратная задача: дано значение $y_0$, нужно найти $x$, при которых $f(x)=y_0$. Проводим горизонтальную линию на уровне $y_0$ и смотрим, где она пересекает график — точки пересечения и дают нужные $x$. Таких точек может быть несколько: если график сначала возрастает, а потом убывает, одна и та же высота $y_0$ достигается дважды.

Промежутки возрастания и убывания

Функция возрастает на промежутке, если график идёт «вверх слева направо»: большему $x$ соответствует больший $y$. Функция убывает, если график идёт «вниз слева направо».

На кусочно-линейном графике границами промежутков служат точки излома (вершины ломаной). Внутри каждого прямолинейного участка функция либо только возрастает, либо только убывает — направление определяет знак углового коэффициента: $k>0$ — возрастает, $k<0$ — убывает.

Наибольшее и наименьшее значение на отрезке

Чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции на отрезке $[a;b]$:

1. Выделить на графике весь участок от $x=a$ до $x=b$.
2. Найти значения $y$ во всех вершинах ломаной внутри отрезка и на его концах $a$, $b$.
3. Выбрать среди этих значений самое большое и самое маленькое.

Экстремум кусочно-линейной функции на отрезке всегда достигается либо в вершине графика, либо на конце отрезка — во внутренних точках прямолинейного участка ничего «нового» появиться не может.

Область определения и множество значений

Область определения $D(f)$ — все значения $x$, для которых график существует (проекция графика на ось $Ox$). Множество значений $E(f)$ — все значения $y$, которые принимает функция (проекция графика на ось $Oy$).

Если график — ломаная от точки $A(x_1;y_1)$ до точки $B(x_2;y_2)$ без разрывов, то $D(f)=[x_1;x_2]$ (при $x_1<x_2$), а $E(f)$ — отрезок между наименьшим и наибольшим значением $y$ на всём графике. Важно: эти крайние значения не обязаны совпадать с $y_1$ и $y_2$ — минимум или максимум часто находится во внутренней вершине.

Практические графики

В задачах ОРТ часто встречаются графики реальных процессов:

• температура воздуха в течение суток — по горизонтали время (часы), по вертикали температура;
• путь от времени — по горизонтали время, по вертикали пройденное расстояние. Горизонтальный участок графика означает остановку (расстояние не меняется), а угловой коэффициент участка — это скорость на нём: $v=\dfrac{\Delta s}{\Delta t}$.

Пример. Если за $2$ часа (с $t=2$ до $t=4$) пройденное расстояние выросло с $15$ км до $35$ км, средняя скорость на этом участке: $v=\dfrac{35-15}{4-2}=\dfrac{20}{2}=10$ км/ч.

ОРТ-совет

На ОРТ графики не нужно строить — только читать готовые. Экономьте время: сразу находите на осях нужные числа и мысленно проводите вертикальную или горизонтальную линию до графика, не пересчитывая то, что и так видно на рисунке. Если спрашивают про промежутки возрастания и убывания, в первую очередь ищите точки излома графика — они и есть границы ответа.