Логарифм и его свойства

Что такое логарифм

Логарифм числа $b$ по основанию $a$ — это показатель степени, в которую нужно возвести $a$, чтобы получить $b$:

$\log_a b = c \quad \Leftrightarrow \quad a^c = b$

Здесь $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$ — область допустимых значений логарифма. Основание не может быть отрицательным, равным единице или нулю, а число под логарифмом (его называют логарифмируемым выражением) — только положительным.

Проще говоря, логарифм отвечает на вопрос: «В какую степень нужно возвести основание, чтобы получить это число?»

Пример. $\log_2 8 = 3$, потому что $2^3 = 8$.

Отдельно обозначают частный случай — десятичный логарифм $\lg b = \log_{10} b$ (основание $10$). Он часто встречается в задачах ОРТ, потому что легко считается через степени десятки.

Простые свойства

Из определения сразу следуют два равенства, которые стоит помнить наизусть:

$\log_a a = 1 \qquad (\text{так как } a^1 = a)$

$\log_a 1 = 0 \qquad (\text{так как } a^0 = 1)$

Ещё одно ключевое равенство — основное логарифмическое тождество. Если сначала прологарифмировать число по основанию $a$, а потом возвести $a$ в получившуюся степень, вернёмся к исходному числу:

$a^{\log_a b} = b$

Это тождество полезно тем, что позволяет мгновенно упростить выражение, не вычисляя логарифм отдельно.

Свойства логарифмов

Логарифм превращает умножение в сложение, деление — в вычитание, а возведение в степень — в умножение:

Логарифм произведения: $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$

Логарифм частного: $\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$

Логарифм степени: $\log_a (x^p) = p \cdot \log_a x$

Эти свойства работают только при $x > 0$ и $y > 0$ — внутри логарифма не может быть отрицательного числа или нуля.

Примеры вычислений

Пример 1. Вычислим $\log_2 8$. Спрашиваем: «$2$ в какой степени даёт $8$?» Так как $2^3 = 8$, получаем $\log_2 8 = 3$.

Пример 2. Вычислим $\log_3 \frac{1}{9}$. Заметим, что $\frac{1}{9} = 3^{-2}$, значит $\log_3 \frac{1}{9} = -2$.

Пример 3. Вычислим $\lg 100$. Это $\log_{10} 100$, а $100 = 10^2$, значит $\lg 100 = 2$.

Пример 4. Упростим $\log_5 (25 \cdot 5^3)$ через свойство логарифма произведения: $\log_5 (25 \cdot 5^3) = \log_5 25 + \log_5 5^3 = 2 + 3 = 5$

Пример 5. Найдём $\log_2 \frac{64}{8}$ двумя способами — и убедимся, что ответ один и тот же. Способ 1: сначала посчитаем частное, $\frac{64}{8} = 8$, значит $\log_2 8 = 3$. Способ 2: применим свойство логарифма частного сразу, не деля числа: $\log_2 64 - \log_2 8 = 6 - 3 = 3$. Оба способа дают $3$ — на ОРТ выбирайте тот, который считается быстрее в конкретной задаче.

ОРТ-совет

На ОРТ калькулятором пользоваться нельзя, поэтому все логарифмы в тесте — «красивые»: степени двойки, тройки, пятёрки, десятки. Самый быстрый способ вычислить логарифм — задать себе один вопрос: «В какую степень нужно возвести основание, чтобы получить число под логарифмом?»

Держите в голове небольшую таблицу степеней: $2^1{=}2,\ 2^2{=}4,\ 2^3{=}8,\ 2^4{=}16,\ 2^5{=}32$; $3^1{=}3,\ 3^2{=}9,\ 3^3{=}27,\ 3^4{=}81$; $10^1{=}10,\ 10^2{=}100,\ 10^3{=}1000$. Тогда $\log_2 32$, $\log_3 81$ или $\lg 1000$ вычисляются мгновенно — без формул, просто подбором степени.

Если число под логарифмом — дробь, ищите отрицательную степень: $\frac{1}{25} = 5^{-2}$, значит $\log_5 \frac{1}{25} = -2$. А если видите основное тождество вида $a^{\log_a b}$ — не вычисляйте логарифм отдельно, сразу пишите ответ $b$: это экономит драгоценные секунды на экзамене.