Квадратные неравенства и метод интервалов

Что такое квадратное неравенство

Квадратное неравенство — это неравенство вида

$ax^2+bx+c>0 \quad (\text{или } <0,\ \ge0,\ \le0), \qquad a\neq 0.$

Решить неравенство — значит найти все значения $x$, при которых выражение $ax^2+bx+c$ имеет нужный знак. Ответ обычно записывают в виде объединения промежутков.

Парабола и знаки

График функции $y=ax^2+bx+c$ — парабола. Там, где парабола пересекает ось $Ox$, находятся корни уравнения $ax^2+bx+c=0$. Знак коэффициента $a$ определяет направление ветвей:

• если $a>0$ — ветви вверх, парабола отрицательна между корнями и положительна вне корней;
• если $a<0$ — ветви вниз, всё наоборот: между корнями парабола положительна, вне корней — отрицательна.

Значит, чтобы решить неравенство, достаточно найти корни и определить, какие промежутки соответствуют нужному знаку.

Метод интервалов

Порядок действий для $(x-a)(x-b)>0$ и подобных неравенств:

1. Перенести всё в одну сторону, чтобы справа был $0$.
2. Если старший коэффициент отрицательный, умножить обе части на $-1$ и сменить знак неравенства.
3. Разложить левую часть на множители и найти корни $x_1<x_2$.
4. Отметить корни на числовой прямой — она разобьётся на три промежутка.
5. Так как ветви теперь направлены вверх ($a>0$ после нормировки), знаки промежутков чередуются: плюс, минус, плюс слева направо.

Например, для $(x-a)(x-b)>0$ при $a<b$ получаем знаки $+,-,+$, поэтому решение — $x<a$ или $x>b$. Для $(x-a)(x-b)<0$ ответ — $a<x<b$, то есть между корнями. Такой способ называют методом интервалов: он работает быстрее, чем построение полного графика, и именно поэтому удобен на экзамене, где на каждое задание отводится мало времени.

Случаи, когда $D<0$

Если дискриминант $D=b^2-4ac$ отрицателен, у уравнения $ax^2+bx+c=0$ нет действительных корней — парабола не пересекает ось $Ox$ и целиком лежит по одну сторону от неё. Знак выражения тогда совпадает со знаком $a$ при любом $x$:

• при $a>0$ выражение всегда положительно: неравенство «$>0$» верно для любого $x$ (вся числовая прямая), а «$<0$» решений не имеет;
• при $a<0$ — наоборот, выражение всегда отрицательно.

Примеры

Пример 1. Решить $x^2-7x+10>0$. Раскладываем: $x^2-7x+10=(x-2)(x-5)$, корни $2$ и $5$. Ветви вверх, знаки $+,-,+$. Ответ: $x<2$ или $x>5$.

Пример 2. Решить $-x^2+3x+4\ge0$. Умножаем на $-1$ и меняем знак: $x^2-3x-4\le0$, то есть $(x-4)(x+1)\le0$. Корни $-1$ и $4$, знаки $+,-,+$, нужен минус (нестрого) — между корнями. Ответ: $-1\le x\le4$.

Пример 3. Решить $x^2+4x+8>0$. Дискриминант $D=16-32=-16<0$, $a=1>0$, значит выражение всегда положительно. Ответ: любое $x$ (вся числовая прямая).

Целые решения на отрезке

Часто в задаче нужно не записать промежуток, а посчитать количество целых решений, принадлежащих данному отрезку. Для этого решают неравенство обычным способом, пересекают полученный промежуток с указанным отрезком и считают целые числа внутри.

Пример. Сколько целых решений неравенства $x^2-6x+5\le0$ лежит на отрезке $[0;10]$? Корни: $(x-1)(x-5)\le0$, значит $1\le x\le5$. Пересечение с $[0;10]$ даёт тот же промежуток $[1;5]$. Целые числа в нём: $1,2,3,4,5$ — всего 5 решений. Если бы отрезок был, например, $[3;10]$, пересечение с $[1;5]$ дало бы $[3;5]$, и целых решений оказалось бы уже три: $3,4,5$. Поэтому границы отрезка всегда нужно учитывать отдельно, а не просто пересчитывать корни исходного неравенства.

ОРТ-совет

На ОРТ время дороже всего, поэтому сразу приводите неравенство к виду со старшим коэффициентом $a>0$ (умножив при необходимости на $-1$ и не забыв сменить знак) — тогда схема знаков всегда одна и та же: «плюс, минус, плюс» слева направо от корней. Перед выбором ответа проверьте дискриминант: если $D<0$, корней нет вообще, и не нужно тратить время на разложение на множители — сразу смотрите на знак $a$. И всегда сверяйте строгость неравенства со скобками в ответе: строгое неравенство даёт круглые скобки (корни не входят), нестрогое — квадратные.