Натуральные числа и делимость

Что такое натуральные числа

Натуральные числа — это числа, которые используются при счёте предметов: $1, 2, 3, 4, 5, \ldots$

Ноль не является натуральным числом.

Делители и кратные

Делитель числа $a$ — это число, на которое $a$ делится без остатка. Например, делители числа $12$: это $1, 2, 3, 4, 6, 12$.

Кратное числа $a$ — это число, которое делится на $a$ без остатка. Кратные числа $4$: это $4, 8, 12, 16, 20, \ldots$

Признаки делимости

Эти признаки нужно знать наизусть — на ОРТ они экономят много времени:

• На 2: последняя цифра чётная ($0, 2, 4, 6, 8$)
• На 3: сумма цифр делится на $3$
• На 5: последняя цифра $0$ или $5$
• На 9: сумма цифр делится на $9$
• На 10: последняя цифра $0$

Пример. Делится ли $4536$ на $9$? Сумма цифр: $4+5+3+6 = 18$. Так как $18$ делится на $9$, число $4536$ делится на $9$.

Простые и составные числа

Простое число имеет ровно два делителя: единицу и само себя. Первые простые числа: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, \ldots$

Составное число имеет больше двух делителей. Например, $91 = 7 \cdot 13$ — составное.

Число $1$ не является ни простым, ни составным.

Любое составное число можно разложить на простые множители:

$60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$

НОД и НОК

НОД (наибольший общий делитель) — самое большое число, на которое делятся оба числа.

НОК (наименьшее общее кратное) — самое маленькое число, которое делится на оба числа.

Как найти через разложение на множители:

$48 = 2^4 \cdot 3, \qquad 36 = 2^2 \cdot 3^2$

• НОД — берём общие множители в наименьшей степени: $2^2 \cdot 3 = 12$
• НОК — берём все множители в наибольшей степени: $2^4 \cdot 3^2 = 144$

Полезное свойство: $\text{НОД}(a, b) \cdot \text{НОК}(a, b) = a \cdot b$