Арифметическая прогрессия

Что такое арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа $d$. Число $d$ называется разностью прогрессии.

$a_1,\quad a_2=a_1+d,\quad a_3=a_2+d,\quad \ldots$

Например, в последовательности $2, 5, 8, 11, 14, \ldots$ каждый следующий член на $3$ больше предыдущего, значит это арифметическая прогрессия с $a_1=2$ и $d=3$.

Разность легко найти по любым двум соседним членам:

$d = a_{n+1} - a_n$

Если $d>0$ — прогрессия возрастающая, если $d<0$ — убывающая, если $d=0$ — все члены равны первому.

Формула $n$-го члена

Чтобы не выписывать все члены подряд, используют формулу:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Пример. Дано $a_1=4$, $d=3$. Найдём $a_{10}$:

$a_{10} = 4 + (10-1)\cdot 3 = 4+27 = 31$

Характеристическое свойство

У арифметической прогрессии есть важное свойство: любой член (кроме крайних) равен среднему арифметическому соседних с ним членов:

$a_n = \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$

Это свойство работает не только для соседних членов, но и для любых членов, номер одного из которых — среднее арифметическое номеров двух других. Если номер $k$ является средним номеров $m$ и $p$ (то есть $k=\dfrac{m+p}{2}$), то:

$a_k = \frac{a_m+a_p}{2}$

Пример. Пусть $a_3=6$ и $a_9=24$. Номер $6$ — среднее арифметическое чисел $3$ и $9$, поэтому

$a_6 = \frac{a_3+a_9}{2} = \frac{6+24}{2} = 15$

без вычисления $a_1$ и $d$.

Сумма первых $n$ членов

Сумму первых $n$ членов прогрессии можно найти по формуле:

$S_n = \frac{a_1+a_n}{2}\cdot n = \frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$

Первая форма удобна, когда известны $a_1$ и $a_n$; вторая — когда известны только $a_1$ и $d$.

Пример. Найдём сумму первых $6$ членов прогрессии $2, 5, 8, 11, \ldots$: сначала $a_6 = 2+5\cdot3=17$, затем

$S_6 = \frac{2+17}{2}\cdot 6 = 9,\!5\cdot 6 = 57$

Восстановление прогрессии по двум членам

Часто в задачах даны не $a_1$ и $d$, а два произвольных члена, и нужно восстановить всю прогрессию.

Пример. Пусть $a_2=5$ и $a_5=17$. Между этими членами $5-2=3$ шага разности:

$a_5-a_2 = 3d \;\Rightarrow\; 3d=17-5=12 \;\Rightarrow\; d=4$

Тогда $a_1 = a_2-d = 5-4=1$, и теперь можно найти любой член прогрессии, например $a_{10}=1+9\cdot4=37$.

Практические задачи

Арифметические прогрессии часто встречаются в задачах на реальные ситуации.

Ряды кресел. Если в первом ряду зала $16$ кресел, а в каждом следующем на $2$ больше, то число кресел в рядах — прогрессия с $a_1=16$, $d=2$. Число мест в $8$-м ряду: $a_8=16+7\cdot2=30$, а общая вместимость первых $8$ рядов: $S_8=\dfrac{16+30}{2}\cdot8=184$ места. Такой же приём работает для количества товара на полках, числа деталей в партиях и других задач, где величина растёт или убывает равномерно.

Накопления по сомам. Если человек откладывает в первый месяц $200$ сомов и увеличивает сумму на одну и ту же величину каждый месяц, отложенные суммы также образуют арифметическую прогрессию, и формула суммы $S_n$ даёт общую накопленную сумму за $n$ месяцев. Важно не путать вопрос «сколько отложил в конкретный месяц» (нужен $a_n$) с вопросом «сколько накопил всего» (нужен $S_n$) — это разные формулы, и на ОРТ такие задачи специально проверяют это различие.

ОРТ-совет

На ОРТ часто дают два члена прогрессии и просят найти третий, номер которого — среднее арифметическое номеров данных. В этом случае не решайте систему уравнений на $a_1$ и $d$ — сразу применяйте характеристическое свойство $a_k=\dfrac{a_m+a_p}{2}$, это экономит время. А при вычислении суммы проверяйте, какие величины даны в условии: если известны $a_1$ и $a_n$, не ищите $d$ отдельно — используйте формулу $S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n$ напрямую.