Ловушки и «Недостаточно информации»

Когда правильный ответ — «Недостаточно информации»

Вариант Г — самый коварный в задачах на сравнение. Он правильный только тогда, когда при одних допустимых значениях больше величина А, а при других — величина Б (или они равны). Если хотя бы два разных значения дают разный результат сравнения — ответ Г.

Классический пример: сравнить $x$ и $x^2$, где $x$ — любое число.

• При $x = 2$: колонка А даёт $2$, колонка Б даёт $4$ — больше Б.
• При $x = 0{,}5$: колонка А даёт $0{,}5$, колонка Б даёт $0{,}25$ — больше А!

Результаты сравнения различаются, значит, ответ — «Недостаточно информации».

Типичные ситуации, где стоит заподозрить ответ Г:

• Переменная без ограничения знака. Если про $x$ не сказано, что он положительный, он может быть отрицательным, нулём или дробью — и картина сравнения меняется.
• Геометрия без масштаба. Рисунок на ОРТ не обязан быть точным. Если периметр прямоугольника равен $20$, его площадь может быть и $9$ (стороны $1$ и $9$), и $25$ (стороны $5$ и $5$) — сравнить её с конкретным числом между ними невозможно.
• Чётность или нечётность неизвестна. Выражение $(-1)^n$ равно $1$ при чётном $n$ и $-1$ при нечётном. Пока чётность $n$ не задана, знак выражения не определён.

Метод подстановки двух значений

Рабочий алгоритм для любой задачи с переменной:

1. Подставьте одно «удобное» значение и запишите результат сравнения (А, Б или «равны»).
2. Подставьте второе, принципиально другое значение из списка: $0$, $1$, отрицательное число, дробь между $0$ и $1$.
3. Если результаты различаются — ответ Г. Если совпадают — это ещё не доказательство: попробуйте третье «экстремальное» значение или докажите неравенство алгебраически.

Пример. Сравним $x^2$ и $2x$. При $x = 3$: $9 > 6$ — больше А. При $x = 1$: $1 < 2$ — больше Б. Два разных исхода — ответ Г, задача решена за 15 секунд.

Важно: подстановка доказывает только ответ Г. Для ответов А, Б или В нужна уверенность, что соотношение сохраняется при всех допустимых значениях.

Ловушка «кажется очевидным»

Мозг охотно верит «очевидным» неравенствам. Самое известное: «квадрат всегда не меньше числа», то есть $x^2 \ge x$. Это неверно при $0 < x < 1$: например, $0{,}25 < 0{,}5$. Дроби между нулём и единицей при возведении в степень уменьшаются — проверяйте их всегда.

Но условие может и «спасти» сравнение! Если дано $x > 1$, то $x^2 > x$ уже всегда верно: $x^2 - x = x(x-1) > 0$. Не спешите ставить Г только потому, что в задаче есть переменная, — сначала посмотрите, что говорят ограничения.

Ловушка деления на переменную

Хочется «сократить» обе колонки на $x$. Нельзя! Если $x$ может быть отрицательным, при делении знак неравенства перевернётся, а при $x = 0$ деление вообще не имеет смысла.

Пример. Дано $x < 0$. Сравним $2x$ и $3x$. «Сократив» на $x$, получим $2 < 3$ и ошибочно выберем Б. На самом деле при $x = -1$: колонка А даёт $-2$, колонка Б даёт $-3$, и $-2 > -3$ — больше А. Алгебраически: $2x - 3x = -x > 0$ при $x < 0$.

Вместо деления вычитайте: знак разности «А минус Б» безопасно показывает, какая колонка больше.

ОРТ-совет

На каждую задачу сравнения — не более 30–40 секунд. Увидели переменную — сразу два «пробных выстрела»: обычное число (например, $2$) и «вредное» ($0$, отрицательное или $0{,}5$). Разные исходы — мгновенно ставьте Г и идите дальше. Исходы совпали — потратьте ещё 10 секунд на проверку разности $А - Б$ с учётом данных ограничений. И помните: если в условии есть ограничение вида $x > 1$ или $x < 0$, составители почти наверняка проверяют, заметили ли вы его.