Степени с целым показателем

Что такое степень

Степенью числа $a$ с натуральным показателем $n$ называется произведение $n$ одинаковых множителей:

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}}$

Число $a$ называется основанием степени, а $n$ — показателем степени.

Например: $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.

Основные свойства степеней

Если основания одинаковы, то при умножении степеней показатели складываются, а при делении — вычитаются:

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}, \qquad a^m : a^n = a^{m-n} \; (a \neq 0)$

Пример. $2^3 \cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8 = 256$.

При возведении степени в степень показатели перемножаются:

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Пример. $(3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6 = 729$.

Степень произведения равна произведению степеней каждого множителя:

$(ab)^n = a^n \cdot b^n$

Пример. $(2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000$. Легко проверить: $10^3 = 1000$.

Аналогично для частного: $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$ при $b \neq 0$.

Степень с нулевым показателем

Любое число, кроме нуля, в нулевой степени равно единице:

$a^0 = 1, \qquad a \neq 0$

Это следует из свойства деления степеней: $a^n : a^n = a^{n-n} = a^0$, а любое число, делённое само на себя, равно $1$. Выражение $0^0$ не определено.

Пример. $7^0 = 1$, $(-15)^0 = 1$, но $0^0$ смысла не имеет.

Степень с отрицательным целым показателем

Если показатель степени — отрицательное целое число, то степень равна дроби, обратной степени с положительным показателем:

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \qquad a \neq 0$

Пример. $2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}$.

Это правило удобно объединять с остальными свойствами. Например:

$\frac{a^5}{a^{-2}} = a^{5-(-2)} = a^7$

Пример. Вычислим $5^{-2} \cdot 5^4$. Показатели складываются: $5^{-2+4} = 5^2 = 25$.

Сравнение степеней

На ОРТ часто встречаются задания на сравнение выражений со степенями. Здесь важно не вычислять степень полностью, а использовать свойства:

• Если основания равны и больше $1$, то больше та степень, у которой показатель больше: $2^5 > 2^3$, так как $5 > 3$.
• Если показатели равны, а основания положительны, больше та степень, у которой основание больше: $3^4 > 2^4$.
• Для основания в промежутке $0 < a < 1$ зависимость обратная: чем больше показатель, тем меньше значение степени. Например, $\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 < \left(\dfrac{1}{2}\right)^2$.
• Отрицательный показатель делает степень числа, большего $1$, меньше единицы: $2^{-4} = \dfrac{1}{16} < 1$.

Пример. Сравните $3^4$ и $4^3$. Вычислим: $3^4 = 81$, $4^3 = 64$. Значит, $3^4 > 4^3$ — несмотря на то, что основание у $4^3$ больше. Когда различаются и основания, и показатели, надёжнее всего довести вычисление до конца.

ОРТ-совет

На экзамене нельзя пользоваться калькулятором, поэтому:

1. Сначала пробуйте применить свойства степеней (сложить или вычесть показатели, объединить множители), а не вычислять числа напрямую — это экономит время.
2. Помните: $a^{-n}$ — это не «минус число», а дробь $\dfrac{1}{a^n}$. Частая ошибка — путать знак показателя со знаком самого числа.
3. При умножении степеней складывайте показатели, а не перемножайте их — перемножение показателей происходит только при возведении степени в степень: $(a^m)^n$.
4. Если основания разные, а показатели одинаковые — сначала попробуйте привести к общему основанию (например, $4 = 2^2$), это часто упрощает сравнение.