Цилиндр, конус, шар

Цилиндр

Цилиндр — тело, которое получается, если вращать прямоугольник вокруг одной из его сторон. У цилиндра два равных круглых основания радиуса $r$ и боковая поверхность высотой $h$.

Объём цилиндра:

$V = \pi r^2 h$

Площадь боковой поверхности (это прямоугольник, если развернуть боковую часть цилиндра: одна сторона — длина окружности основания $2\pi r$, другая — высота $h$):

$S_{\text{бок}} = 2\pi r h$

Полная поверхность — боковая поверхность плюс два круга-основания:

$S_{\text{полн}} = 2\pi r h + 2\pi r^2 = 2\pi r (h + r)$

Пример. Дан цилиндр с $r = 4$ см, $h = 3$ см.

• Объём: $V = \pi \cdot 4^2 \cdot 3 = 48\pi$ см³.
• Боковая поверхность: $S_{\text{бок}} = 2\pi \cdot 4 \cdot 3 = 24\pi$ см².
• Полная поверхность: $S_{\text{полн}} = 2\pi \cdot 4 \cdot (3 + 4) = 56\pi$ см².

Конус

Конус получается вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Радиус основания $r$, высота $h$, а третий важный элемент — образующая $l$: отрезок от вершины конуса до края основания.

Высота, радиус и образующая образуют прямоугольный треугольник, поэтому образующую находят по теореме Пифагора:

$l = \sqrt{r^2 + h^2}$

Объём конуса — в три раза меньше объёма цилиндра с теми же $r$ и $h$:

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$

Площадь боковой поверхности:

$S_{\text{бок}} = \pi r l$

Полная поверхность:

$S_{\text{полн}} = \pi r l + \pi r^2 = \pi r (l + r)$

Пример. Дан конус с $r = 3$ см, $h = 4$ см.

Сначала находим образующую: $l = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ см. (Числа $3, 4, 5$ — классическая пифагорова тройка, ОРТ любит такие данные.)

• Объём: $V = \frac{1}{3}\pi \cdot 3^2 \cdot 4 = \frac{1}{3}\pi \cdot 36 = 12\pi$ см³.
• Боковая поверхность: $S_{\text{бок}} = \pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi$ см².
• Полная поверхность: $S_{\text{полн}} = \pi \cdot 3 \cdot (5 + 3) = 24\pi$ см².

Шар

Шар — тело, все точки поверхности которого находятся на одинаковом расстоянии $r$ (радиус) от центра.

Объём шара:

$V = \frac{4}{3}\pi r^3$

Площадь поверхности шара:

$S = 4\pi r^2$

Пример. Дан шар с $r = 6$ см.

• Объём: $V = \frac{4}{3}\pi \cdot 6^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 216 = 288\pi$ см³.
• Поверхность: $S = 4\pi \cdot 6^2 = 4\pi \cdot 36 = 144\pi$ см².

Сравнение объёмов цилиндра и конуса

Если цилиндр и конус имеют одинаковые радиус основания $r$ и высоту $h$, их объёмы связаны простым соотношением: объём цилиндра ровно в 3 раза больше объёма конуса. Это сразу видно из формул — конус отличается только множителем $\frac{1}{3}$.

Проверка на примере $r = 3$, $h = 4$ (те же числа, что и в примере с конусом выше):

• Объём цилиндра: $V_{\text{цил}} = \pi \cdot 3^2 \cdot 4 = 36\pi$ см³.
• Объём конуса: $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi \cdot 3^2 \cdot 4 = 12\pi$ см³.

Действительно, $36\pi = 3 \cdot 12\pi$ — цилиндр больше ровно в 3 раза.

ОРТ-совет

На ОРТ калькулятор не разрешён, поэтому ответы почти всегда оставляют в виде $k\pi$ — не пытайтесь подставлять $\pi \approx 3{,}14$, это лишняя работа и источник ошибок округления. Запомните тройку $3$-$4$-$5$ для образующей конуса: если в условии видите $r = 3$ и $h = 4$ (или кратные им числа, например $6$ и $8$), образующая находится мгновенно без вычислений на бумаге. И держите в голове главное правило сравнения: цилиндр = 3 × конус при равных $r$ и $h$ — это часто встречается в заданиях на сравнение величин.