Координаты на плоскости и в пространстве

Координатная плоскость

Координатная плоскость образована двумя перпендикулярными числовыми осями: горизонтальной осью $Ox$ (осью абсцисс) и вертикальной осью $Oy$ (осью ординат). Точка их пересечения называется началом координат и обозначается $O(0, 0)$.

Каждой точке плоскости соответствует пара чисел $(x, y)$: $x$ — абсцисса (расстояние по горизонтали от начала координат), $y$ — ордината (расстояние по вертикали). Например, точка $A(3, 5)$ находится на $3$ единицы правее и на $5$ единиц выше начала координат.

Четверти координатной плоскости

Оси $Ox$ и $Oy$ делят плоскость на четыре четверти, которые нумеруются против часовой стрелки начиная с правой верхней:

• I четверть: $x > 0$, $y > 0$
• II четверть: $x < 0$, $y > 0$
• III четверть: $x < 0$, $y < 0$
• IV четверть: $x > 0$, $y < 0$

Если хотя бы одна координата равна нулю, точка лежит на оси, а не внутри четверти. Например, точка $(0, -6)$ лежит на оси $Oy$ (абсцисса равна нулю), а точка $(4, 0)$ — на оси $Ox$ (ордината равна нулю).

Чтобы быстро определить четверть, достаточно взглянуть на знаки координат — вычислять ничего не нужно. Так, точки $(2, 7)$, $(-2, 7)$, $(-2, -7)$ и $(2, -7)$ лежат соответственно в I, II, III и IV четвертях.

Пример. Точка $M(-6, 4)$: абсцисса отрицательна, ордината положительна — значит, $M$ находится во II четверти.

Расстояние между двумя точками

Расстояние между точками $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ находится по формуле, которая по сути является теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами $|x_2 - x_1|$ и $|y_2 - y_1|$:

$AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$

Пример. Найдём расстояние между точками $(0, 0)$ и $(3, 4)$:

$d = \sqrt{(3-0)^2+(4-0)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$

На ОРТ такие задачи почти всегда подобраны так, что под корнем получается точный квадрат — узнавайте пифагоровы тройки: $3$-$4$-$5$, $6$-$8$-$10$, $5$-$12$-$13$, $8$-$15$-$17$, $9$-$12$-$15$.

Середина отрезка

Координаты середины отрезка с концами $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ — это среднее арифметическое соответствующих координат:

$x_c = \frac{x_1+x_2}{2}, \qquad y_c = \frac{y_1+y_2}{2}$

Пример. Середина отрезка с концами $A(-5, 3)$ и $B(9, -7)$:

$x_c = \frac{-5+9}{2}=2, \qquad y_c = \frac{3+(-7)}{2}=-2$

Значит, середина — точка $(2, -2)$.

Симметрия относительно осей и начала координат

Для точки $A(x, y)$ симметричные точки строятся так:

• относительно оси $Ox$: меняется знак только у $y$ → $(x, -y)$
• относительно оси $Oy$: меняется знак только у $x$ → $(-x, y)$
• относительно начала координат: меняются знаки у обеих координат → $(-x, -y)$

Пример. Для точки $A(5, -3)$: симметричная относительно $Ox$ — $(5, 3)$; относительно $Oy$ — $(-5, -3)$; относительно начала координат — $(-5, 3)$.

Координаты в пространстве

В пространстве добавляется третья ось $Oz$, перпендикулярная плоскости $Oxy$. Положение точки задаётся тройкой чисел $(x, y, z)$.

Расстояние между точками $A(x_1,y_1,z_1)$ и $B(x_2,y_2,z_2)$ находится по аналогичной формуле — теорема Пифагора «в трёх измерениях»:

$AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$

Пример. Расстояние между $A(1, 2, 3)$ и $B(4, 6, 15)$:

$d = \sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2+(15-3)^2} = \sqrt{9+16+144} = \sqrt{169} = 13$

ОРТ-совет

Не тратьте время на извлечение «некрасивых» корней — если задача составлена корректно, под корнем всегда получится точный квадрат. Заранее выучите несколько пифагоровых троек ($3$-$4$-$5$, $6$-$8$-$10$, $5$-$12$-$13$, $9$-$12$-$15$) — это позволяет угадывать ответ по разностям координат ещё до полного вычисления. При определении четверти достаточно посмотреть только на знаки $x$ и $y$ — вычислять ничего не нужно.