Задачи на совместную работу

Производительность

Производительность — это часть работы, которую выполняют за единицу времени (за час, за день).

Если всю работу принять за $1$ и известно, что работник (труба, станок, комбайн) выполняет её целиком за $t$ часов, то за один час он выполняет $\frac{1}{t}$ этой работы. Это и есть его производительность.

Например, если маляр красит забор за $5$ часов, то за час он окрашивает $\frac{1}{5}$ забора.

Совместная работа: производительности складываются

Если несколько работников трудятся одновременно, их производительности складываются — вместе они выполняют за час больше работы, чем каждый по отдельности.

Пусть первый выполняет работу за $x$ часов, второй — за $y$ часов. Тогда:

$\text{производительность вместе} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

А время совместной работы — это единица, делённая на совместную производительность:

$t = \dfrac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} = \dfrac{xy}{x+y}$

Эту формулу удобно запомнить как готовый ответ на самый частый вопрос ОРТ: «первый выполняет работу за $x$ часов, второй — за $y$ часов, за сколько часов справятся вместе?»

Пример. Первый рабочий выполняет заказ за $6$ часов, второй — за $3$ часа. За сколько часов они справятся вместе?

$t = \frac{6\cdot 3}{6+3} = \frac{18}{9} = 2 \text{ часа}$

Проверка через производительности: $\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{6}+\frac{2}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$, значит вместе делают половину работы в час, а всю работу — за $2$ часа. Ответы совпали.

Трубы и бассейны

Классический сюжет ОРТ — трубы, наполняющие (или, наоборот, опустошающие) бассейн. Работает та же логика: труба, наполняющая бассейн за $t$ часов, имеет производительность $\frac{1}{t}$ бассейна в час.

Пример. Труба А наполняет бассейн за $4$ часа, труба Б — за $12$ часов. За сколько часов бассейн наполнится, если открыть обе трубы?

$t = \frac{4\cdot 12}{4+12} = \frac{48}{16} = 3 \text{ часа}$

Если труба, наоборот, откачивает воду, её производительность вычитается, а не складывается — это стоит внимательно отслеживать по условию задачи.

Работа с частями

Иногда в условии дана не полная работа, а её часть, выполненная за известное время. Тогда сначала находят производительность, а затем — время на всю работу.

Пример. Насос заполнил $\frac{1}{3}$ бассейна за $5$ часов. За сколько часов насос заполнит весь бассейн?

Раз $\frac{1}{3}$ объёма заполняется за $5$ часов, то весь объём (в $3$ раза больше) заполнится в $3$ раза дольше:

$t = 5 \cdot 3 = 15 \text{ часов}$

Такой же приём работает и в обратную сторону: если известно общее время работы, легко найти, какая часть выполнена за меньший промежуток. Например, за $3$ часа при полном времени $9$ часов выполнено $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$ работы.

ОРТ-совет

• Самая частая ошибка — сложить время ($x+y$) вместо того, чтобы сложить производительности. Время совместной работы всегда меньше времени самого быстрого работника — если у вас в ответе получилось число больше меньшего из $x$ и $y$, где-то ошибка.
• Формула $t=\dfrac{xy}{x+y}$ — самый быстрый способ решить задачу «двое отдельно — за сколько вместе» без промежуточных дробей. Держите её наготове.
• Если работников трое и больше, складывайте производительности $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ — короткой формулы для трёх слагаемых нет, поэтому считайте через общий знаменатель.
• Если в задаче кто-то уходит или присоединяется по ходу дела, разбивайте решение на этапы: сколько работы сделано к моменту изменения состава, сколько осталось, и с какой производительностью выполняется остаток.