Задачи на смеси и сплавы

Что такое концентрация

Концентрация вещества в смеси (растворе, сплаве) — это доля массы вещества от массы всей смеси:

$c = \frac{m_{\text{в-ва}}}{m_{\text{смеси}}}$

Если концентрацию нужно выразить в процентах, умножаем на $100\%$: $c = \dfrac{m_{\text{в-ва}}}{m_{\text{смеси}}} \cdot 100\%$.

Отсюда сразу следует главная рабочая формула — масса чистого вещества в смеси:

$m_{\text{в-ва}} = c \cdot m_{\text{смеси}}$

Например, в $200$ г раствора с концентрацией соли $15\%$ соли содержится $200 \cdot 0{,}15 = 30$ г.

Главный метод: таблица «масса смеси — масса вещества»

Почти любую задачу на смеси удобно решать через таблицу с тремя колонками: масса смеси, концентрация (в долях) и масса чистого вещества. Третья колонка всегда равна произведению первых двух.

Ключевая идея, на которой держится весь раздел: при смешивании масса смеси и масса чистого вещества складываются отдельно, а вот концентрации складывать нельзя.

Пример 1 (смешивание двух растворов). Смешали $200$ г раствора соли с концентрацией $10\%$ и $300$ г раствора с концентрацией $20\%$. Найдите концентрацию соли в смеси.

| | масса смеси | масса соли | |---|---|---| | раствор 1 | $200$ | $200 \cdot 0{,}10 = 20$ | | раствор 2 | $300$ | $300 \cdot 0{,}20 = 60$ | | смесь | $200+300=500$ | $20+60=80$ |

Концентрация смеси: $c = \dfrac{80}{500} = 0{,}16 = 16\%$.

Заметьте: простое среднее $\dfrac{10\%+20\%}{2}=15\%$ — это неверный ответ, потому что массы растворов разные. Концентрации нужно усреднять с весами, равными массам, а проще всего — просто вести таблицу.

Разбавление: добавление воды

Когда в раствор добавляют воду, масса смеси увеличивается, а масса чистого вещества (соли, кислоты) не меняется — вода не содержит соли.

Пример 2. К $300$ г раствора соли с концентрацией $20\%$ добавили $100$ г воды. Найдите новую концентрацию.

Масса соли: $300 \cdot 0{,}20 = 60$ г — не изменилась. Новая масса смеси: $300+100=400$ г. Новая концентрация: $\dfrac{60}{400} = 15\%$.

Выпаривание

При выпаривании из смеси уходит вода: масса смеси уменьшается, а масса чистого вещества остаётся прежней. Концентрация при этом растёт.

Пример 3. Из $500$ г раствора с концентрацией соли $12\%$ выпарили $100$ г воды. Масса соли: $500 \cdot 0{,}12 = 60$ г — без изменений. Новая масса раствора: $500-100=400$ г. Новая концентрация: $\dfrac{60}{400}=15\%$.

Сплавы

Сплавы металлов устроены точно так же, как растворы: «концентрация» — это доля одного металла в общей массе сплава, а при сплавлении массы металлов и общие массы складываются отдельно.

Пример 4. Сплавили $300$ г сплава с содержанием меди $40\%$ и $200$ г сплава с содержанием меди $65\%$.

| | масса сплава | масса меди | |---|---|---| | сплав 1 | $300$ | $300\cdot 0{,}40=120$ | | сплав 2 | $200$ | $200\cdot 0{,}65=130$ | | итог | $500$ | $250$ |

Концентрация меди в новом сплаве: $\dfrac{250}{500}=50\%$.

Если в задаче неизвестна масса одного из компонентов, её обозначают за $x$ и составляют уравнение по строке «масса вещества»: масса вещества в первой части плюс масса вещества во второй части равна массе вещества в итоговой смеси.

ОРТ-совет

На ОРТ почти всегда выгоднее не запоминать «формулу смешивания», а за 20 секунд начертить таблицу из трёх строк и трёх столбцов и заполнить её по смыслу: масса смеси, доля, масса вещества. Ошибка, которую чаще всего допускают, — усреднение процентов без учёта масс. Если масс не хватает и в задаче есть неизвестная $x$, уравнение всегда пишется по столбцу «масса вещества» (сумма частей равна целому), а не по столбцу процентов.