Тригонометрия острого угла

Синус, косинус и тангенс острого угла

В прямоугольном треугольнике один угол равен $90°$, а два других — острые. Стороны называют так: гипотенуза — сторона напротив прямого угла (самая длинная сторона); катет, противолежащий углу $\alpha$ — сторона напротив этого угла; катет, прилежащий к углу $\alpha$ — сторона рядом с углом (но не гипотенуза).

Для острого угла $\alpha$ прямоугольного треугольника:

$\sin\alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}, \qquad \cos\alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$

$\text{tg}\,\alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

Пример. В треугольнике с катетами $6$ и $8$ и гипотенузой $10$ (тройка $3$-$4$-$5$, увеличенная вдвое) для угла $\alpha$, противолежащего катету $6$: $\sin\alpha = 6/10 = 3/5$, $\cos\alpha = 8/10 = 4/5$, $\text{tg}\,\alpha = 6/8 = 3/4$. Заметьте: $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ никогда не превышают $1$, ведь катет всегда короче гипотенузы, а вот $\text{tg}\,\alpha$ может быть и больше $1$ (если противолежащий катет длиннее прилежащего).

Обратите внимание, что синус одного острого угла равен косинусу другого: у того же треугольника для угла $\beta$ (противолежащего катету $8$) получаем $\sin\beta = 8/10 = 4/5 = \cos\alpha$. Это верно всегда, так как $\alpha + \beta = 90°$.

Таблица значений для 30°, 45°, 60°

Эти значения нужно знать наизусть — калькулятора на ОРТ нет:

| $\alpha$ | $30°$ | $45°$ | $60°$ | |---|---|---|---| | $\sin\alpha$ | $\dfrac12$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ | | $\cos\alpha$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac12$ | | $\text{tg}\,\alpha$ | $\dfrac{\sqrt3}{3}$ | $1$ | $\sqrt3$ |

Легко запомнить: $\sin$ и $\cos$ на $30°$ и $60°$ — «зеркальны» друг другу, а на $45°$ они равны.

Основное тригонометрическое тождество

Для любого острого угла верно:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

Это следствие теоремы Пифагора: если катеты треугольника — $a$ (противолежащий) и $b$ (прилежащий), а гипотенуза — $c$, то $a^2+b^2=c^2$. Разделив обе части на $c^2$, получаем $\left(\frac{a}{c}\right)^2+\left(\frac{b}{c}\right)^2=1$, то есть $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.

Пример. Пусть $\sin\alpha = \dfrac{5}{13}$, угол $\alpha$ острый. Тогда

$\cos^2\alpha = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}, \qquad \cos\alpha = \frac{12}{13}$

(корень берём со знаком «$+$», потому что для острого угла косинус всегда положителен).

Как найти сторону, зная угол и другую сторону

Из определений выражаем нужную сторону:

$\text{противолежащий катет} = \text{гипотенуза} \cdot \sin\alpha, \qquad \text{прилежащий катет} = \text{гипотенуза} \cdot \cos\alpha$

Пример. Лестница длиной $8$ м приставлена к стене под углом $60°$ к полу. Высота, на которую поднимается верхний конец лестницы, — это катет, противолежащий углу $60°$:

$h = 8 \cdot \sin 60° = 8 \cdot \frac{\sqrt3}{2} = 4\sqrt3 \text{ м}$

Как найти угол по отношению сторон

Если известно отношение двух сторон, сравните его со значениями из таблицы.

Пример. В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу $\alpha$, равен $5\sqrt3$, а гипотенуза равна $10$. Тогда

$\sin\alpha = \frac{5\sqrt3}{10} = \frac{\sqrt3}{2} \quad\Rightarrow\quad \alpha = 60°$

потому что именно это значение синуса стоит в таблице под углом $60°$.

Так же поступаем с тангенсом: если $\text{tg}\,\alpha = 1$, сразу вспоминаем таблицу — единица стоит только в столбце $45°$, значит $\alpha = 45°$. Если отношение сторон не совпадает ни с одним табличным значением, угол просто не является «красивым», и в задачах ОРТ такое почти не встречается.

ОРТ-совет

На ОРТ почти все треугольники в задачах на тригонометрию острого угла строят на «удобных» числах: либо это табличные углы $30°$, $45°$, $60°$, либо пифагоровы тройки $3$-$4$-$5$, $5$-$12$-$13$, $8$-$15$-$17$ (и их увеличенные копии, например $6$-$8$-$10$). Выучите эти тройки наизусть — тогда, увидев катеты $15$ и $17$ или $8$ и $17$, вы сразу узнаете третью сторону и нужное отношение, не тратя время на вычисления и корни. А таблицу значений для $30°$, $45°$, $60°$ полезно проговорить вслух несколько раз перед экзаменом — на её вспоминание не должно уходить больше пары секунд.