Системы уравнений

Что такое система уравнений

Система уравнений — это несколько уравнений, для которых нужно найти общее решение — значения переменных, подходящие сразу для всех уравнений.

Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными $x$ и $y$ обычно записывается так:

$$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$$

Решение системы — это пара чисел $(x, y)$, которая обращает в верное равенство оба уравнения одновременно.

Метод подстановки

1. Из одного уравнения выражаем одну переменную через другую.
2. Подставляем это выражение во второе уравнение — получаем уравнение с одной переменной.
3. Решаем его, находим первую переменную.
4. Подставляем найденное значение обратно и находим вторую переменную.

Пример. Решим систему:

$$\begin{cases} y = 2x - 1 \\ 3x + y = 14 \end{cases}$$

Подставляем $y = 2x - 1$ во второе уравнение:

$3x + (2x - 1) = 14 \;\Rightarrow\; 5x = 15 \;\Rightarrow\; x = 3$

Тогда $y = 2 \cdot 3 - 1 = 5$. Ответ: $(3, 5)$.

Метод сложения

Если переменную неудобно выражать явно, уравнения можно складывать или вычитать, чтобы одна из переменных сократилась.

1. При необходимости умножаем одно или оба уравнения на числа так, чтобы коэффициенты при одной переменной стали равны по модулю.
2. Складываем (если знаки противоположны) или вычитаем (если знаки одинаковы) уравнения — переменная исчезает.
3. Решаем получившееся уравнение с одной переменной.
4. Подставляем найденное значение в любое из исходных уравнений.

Пример. Решим систему:

$$\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 2x - y = 4 \end{cases}$$

Коэффициенты при $x$ уже равны, поэтому вычтем второе уравнение из первого:

$(2x + 3y) - (2x - y) = 12 - 4 \;\Rightarrow\; 4y = 8 \;\Rightarrow\; y = 2$

Подставим во второе уравнение: $2x - 2 = 4 \Rightarrow x = 3$. Ответ: $(3, 2)$.

Графический смысл системы

Каждое линейное уравнение с двумя переменными задаёт прямую на координатной плоскости. Решить систему двух таких уравнений — значит найти точку пересечения двух прямых. Возможны три случая:

• Прямые пересекаются в одной точке — система имеет ровно одно решение (обычный случай).
• Прямые параллельны и не совпадают — система не имеет решений. Так бывает, когда коэффициенты при $x$ и $y$ пропорциональны, а свободные члены — нет. Например, $x + y = 8$ и $2x + 2y = 10$: второе уравнение делим на $2$ и получаем $x + y = 5 \ne 8$ — противоречие.
• Прямые совпадают — система имеет бесконечно много решений. Так бывает, когда одно уравнение получается из другого умножением на число. Например, $x + y = 4$ и $2x + 2y = 8$ — это одна и та же прямая.

Проверка решения

Чтобы проверить, является ли пара чисел $(x_0, y_0)$ решением системы, нужно подставить оба числа в каждое уравнение и убедиться, что оба равенства верны.

Пример. Проверим пару $(2, -3)$ для системы:

$$\begin{cases} x + 2y = -4 \\ 3x - y = 9 \end{cases}$$

Первое уравнение: $2 + 2 \cdot (-3) = 2 - 6 = -4$ — верно. Второе уравнение: $3 \cdot 2 - (-3) = 6 + 3 = 9$ — верно.

Оба равенства верны, значит $(2, -3)$ — решение системы. Если хотя бы одно равенство неверно, пара не является решением.

ОРТ-совет

Если в задаче спрашивают не $x$ и не $y$ по отдельности, а сумму $x + y$ (или разность), часто не нужно решать систему полностью — достаточно сложить уравнения целиком.

Пример. Дана система:

$$\begin{cases} 4x + 7y = 32 \\ 7x + 4y = 23 \end{cases}$$

Сложим левые и правые части:

$11x + 11y = 55 \;\Rightarrow\; 11(x+y) = 55 \;\Rightarrow\; x + y = 5$

Ответ получен за один шаг, без нахождения $x$ и $y$ отдельно (для справки: на самом деле $x=1$, $y=4$). На ОРТ это экономит драгоценные минуты — прежде чем решать систему целиком, посмотрите, не складываются ли коэффициенты при $x$ и $y$ одинаково.