Текстовые задачи на уравнения

Общий алгоритм решения текстовых задач

1. Выберите неизвестное — обычно то, о чём спрашивают, или самую маленькую из величин (тогда остальные выражаются без дробей).
2. Выразите через $x$ все остальные величины, используя условие задачи.
3. Найдите в тексте фразу, которая даёт равенство («в сумме», «стало поровну», «на столько-то больше») — это и есть уравнение.
4. Решите уравнение.
5. Проверьте результат по условию и ответьте именно на поставленный вопрос — часто спрашивают не $x$, а другую величину.

ОРТ-совет. Пункт 5 — самая частая причина потери балла: уравнение решено верно, но в бланк вписан $x$ вместо нужной величины (например, меньшего числа вместо большего).

Как перевести условие в уравнение

| Фраза в условии | Запись | |---|---| | «на $N$ больше $x$» | $x + N$ | | «на $N$ меньше $x$» | $x - N$ | | «в $k$ раз больше $x$» | $k \cdot x$ | | «в $k$ раз меньше $x$» | $x : k$ | | «сумма $x$ и $y$ равна $S$» | $x + y = S$ | | «разность $x$ и $y$ равна $d$» | $x - y = d$ |

Пример. Сумма двух чисел равна $50$, причём одно на $8$ больше другого. Пусть меньшее число $x$, тогда большее — $x+8$:

$x + (x+8) = 50 \quad\Rightarrow\quad 2x = 42 \quad\Rightarrow\quad x = 21.$

Числа: $21$ и $29$.

Задачи на числа и цифры

Двузначное число с цифрами $a$ (десятки) и $b$ (единицы) записывается как $10a+b$. Число с переставленными цифрами — $10b+a$. Их разность всегда кратна $9$:

$(10a+b)-(10b+a) = 9(a-b).$

Пример. Цифры двузначного числа отличаются на $3$, число на $27$ больше числа с переставленными цифрами, а сумма цифр равна $11$. Из разности: $9(a-b) = 27 \Rightarrow a-b=3$. Вместе с $a+b=11$ получаем $a=7$, $b=4$ — число $74$ (проверка: $74-47=27$, $7+4=11$).

ОРТ-совет. Не путайте цифру $a$ и слагаемое $10a$ — типичная ошибка: писать число как «$a+b$» вместо «$10a+b$».

Задачи на возраст

Ключевая идея: разность возрастов не меняется со временем, а «через $n$ лет» означает, что к каждому возрасту прибавляется одно и то же $n$.

Пример. Деду сейчас $60$ лет, внуку — $12$ лет. Через сколько лет дед будет старше внука ровно в $4$ раза?

$60 + x = 4(12+x) \;\Rightarrow\; 60+x=48+4x \;\Rightarrow\; 12=3x \;\Rightarrow\; x=4.$

Проверка: через $4$ года деду $64$, внуку $16$, и $64 = 4\cdot 16$.

ОРТ-совет. «Во сколько раз старше» относится к возрастам в указанный момент времени, а не сейчас — не забывайте прибавлять $x$ к обеим сторонам, включая то число лет, что стоит в условии до слова «раз».

Распределение денег и предметов

Если сумма или количество предметов делится на части с известным соотношением или разницей, удобно принять за $x$ самую маленькую часть.

Пример. $3000$ сомов разделили между двумя рабочими так, что первый получил в $2$ раза больше второго. Пусть второй получил $x$ сомов, тогда первый — $2x$:

$x + 2x = 3000 \;\Rightarrow\; 3x=3000 \;\Rightarrow\; x=1000.$

Второй рабочий получил $1000$ сомов, первый — $2000$ сомов.

Если части отличаются не в разы, а «на столько-то», то выражайте их через $x \pm N$, как в примере с суммой чисел выше — принцип тот же.

ОРТ-совет. Прежде чем писать уравнение, проверьте единицы измерения (сомы, километры, годы) — в вариантах ответа часто встречается число, полученное при верном методе, но с потерянным или лишним нулём.