Основы вероятности

Что такое вероятность

Вероятность показывает, насколько возможно событие. Она всегда находится между $0$ и $1$:

$0 \leq P(A) \leq 1$

$P(A)=0$ означает невозможное событие, а $P(A)=1$ — достоверное. Например, при броске обычного кубика выпадение числа $7$ невозможно, а выпадение числа от $1$ до $6$ достоверно.

Главная формула

Если все исходы равновозможны, то

$P(A)=\frac{m}{n},$

где $m$ — число исходов, благоприятных событию $A$, а $n$ — число всех возможных исходов.

Пример. На кубике нужно получить число больше $4$. Подходят $5$ и $6$: два исхода из шести.

$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

ОРТ-алгоритм: выпишите все возможные исходы, отметьте подходящие, затем составьте и сократите дробь.

Противоположное событие

События «произойдёт $A$» и «$A$ не произойдёт» вместе охватывают все варианты:

$P(\overline A)=1-P(A)$

Пример. Вероятность дождя равна $0{,}35$. Тогда вероятность, что дождя не будет, равна $1-0{,}35=0{,}65$.

Этот способ особенно удобен в задачах со словами «хотя бы один». Часто проще найти вероятность, что не произошло ни одного нужного исхода, и вычесть её из $1$.

Несколько испытаний

Для двух последовательных независимых действий число исходов удобно записывать парами. При двух бросках монеты:

$\{ОО,\;ОР,\;РО,\;РР\},$

где О — орёл, Р — решка. Ровно один орёл встречается в двух исходах из четырёх, поэтому вероятность равна $\frac{1}{2}$.

Для независимых событий вероятности последовательных исходов перемножаются. Например, два раза подряд получить орла:

$\frac12\cdot\frac12=\frac14$

Выбор без возвращения

Если выбранный предмет не возвращают, общее количество предметов уменьшается.

Пример. В коробке $4$ белых и $3$ чёрных шара. Вероятность вынуть два белых подряд без возвращения:

$\frac47\cdot\frac36=\frac{12}{42}=\frac27$

Частая ошибка: во второй дроби оставлять знаменатель $7$. После первого выбора в коробке осталось только $6$ шаров.

Как не попасть в ловушку

• Не путайте число благоприятных исходов с их вероятностью.
• Убедитесь, что исходы действительно равновозможны.
• В двух бросках кубика имеется $6\cdot6=36$ упорядоченных исходов, а не $12$.
• Ответ должен находиться между $0$ и $1$; его также можно записать процентом.

ОРТ-совет: прежде чем применять формулу, ответьте на два вопроса: «Сколько всего вариантов?» и «Сколько из них подходят?»