Десятичные дроби и округление

Запись и разряды

Десятичная дробь — это способ записи дроби со знаменателем $10, 100, 1000, \ldots$ без черты: целая часть отделяется от дробной запятой.

$3{,}472 = 3 + \frac{4}{10} + \frac{7}{100} + \frac{2}{1000}$

Разряды после запятой: десятые, сотые, тысячные и так далее. Нули в конце дробной части не меняют число: $0{,}5 = 0{,}50 = 0{,}500$.

Сравнение десятичных дробей

1. Сначала сравниваем целые части: у кого больше — то число и больше.
2. Если целые части равны, уравниваем количество знаков после запятой нулями и сравниваем поразрядно слева направо.

Пример. Сравним $0{,}309$ и $0{,}31$. Запишем $0{,}31 = 0{,}310$. Десятые равны ($3 = 3$), а сотые: $0 < 1$. Значит, $0{,}309 < 0{,}31$.

Частая ошибка — думать, что «длиннее — значит больше»: $0{,}096 < 0{,}1$, хотя цифр у первого числа больше.

Сложение и вычитание

Записываем числа запятая под запятой и считаем как с натуральными числами.

$5{,}3 + 2{,}78 = 5{,}30 + 2{,}78 = 8{,}08$

При вычитании из целого числа удобно дописать нули: $6 - 2{,}35 = 6{,}00 - 2{,}35 = 3{,}65$.

Умножение и деление

Умножение: перемножаем числа, не обращая внимания на запятые, а затем отделяем справа столько знаков, сколько их в обоих множителях вместе.

$3{,}6 \cdot 0{,}25: \quad 36 \cdot 25 = 900, \ \text{отделяем } 3 \text{ знака} \Rightarrow 0{,}900 = 0{,}9$

Деление: переносим запятую в делителе вправо до целого числа, и на столько же знаков — в делимом.

$5{,}1 : 1{,}7 = 51 : 17 = 3$

На 10, 100, 1000 всё сводится к переносу запятой:

• умножение — запятая вправо: $0{,}7 \cdot 100 = 70$;
• деление — запятая влево: $3{,}5 : 1000 = 0{,}0035$.

Перевод: обыкновенная дробь ↔ десятичная

Из обыкновенной в десятичную — привести знаменатель к $10, 100, 1000$ или разделить числитель на знаменатель уголком:

$\frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 0{,}75, \qquad \frac{7}{8} = \frac{875}{1000} = 0{,}875$

Из десятичной в обыкновенную — записать со знаменателем $10, 100, \ldots$ и сократить:

$0{,}48 = \frac{48}{100} = \frac{12}{25}$

Периодические дроби (коротко)

Несократимая дробь превращается в конечную десятичную только тогда, когда её знаменатель состоит лишь из множителей $2$ и $5$. Иначе получается бесконечная периодическая дробь:

$\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots = 0{,}(3), \qquad \frac{5}{6} = 0{,}8333\ldots = 0{,}8(3)$

На ОРТ достаточно узнавать такие дроби и уметь заменять их приближением: $\frac{1}{3} \approx 0{,}33$.

Округление и прикидка

Правило округления: смотрим на первую отбрасываемую цифру. Если она $\geq 5$ — последнюю оставляемую цифру увеличиваем на $1$, если $< 5$ — оставляем как есть.

Пример. $7{,}4382$ до сотых: следующая цифра $8 \geq 5$, значит $7{,}44$. До десятых: следующая цифра $3 < 5$, значит $7{,}4$.

Осторожно с «переносом»: $2{,}497$ до сотых — это $2{,}50$, а не $2{,}49$.

Прикидка — грубая оценка результата с помощью удобных круглых чисел: $4{,}98 \cdot 20{,}1 \approx 5 \cdot 20 = 100$ (точно: $100{,}098$).

ОРТ-совет. На экзамене прикидка часто заменяет вычисление. В задаче $39{,}6 : 0{,}8$ оцените: $\approx 40 : 0{,}8 = 50$. Если среди вариантов стоят $4{,}95$, $49{,}5$ и $495$, то сразу видно: подходит только $49{,}5$. Всегда сначала оценивайте порядок ответа — это отсекает 3–4 варианта за несколько секунд и страхует от ошибки с запятой.